LeetCode百题【最长递增子序列】

题目描述

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

1
2
3

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

1 2	`输入：nums = [0,1,0,3,2,3] 输出：4`

示例 3：

1 2	`输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7] 输出：1`

提示：

1 <= nums.length <= 2500
-10^4 <= nums[i] <= 10^4

进阶：

你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

解法

动态规划
- 定义dp[i]为考虑前 i个元素，以第 i 个数字结尾的最长上升子序列的长度
- 那么有动态转移方程
$$
dp[i]=max(dp[j])+1,其中0≤j<i且num[j]<num[i]
$$
- 整个数组的最长上升子序列即所有dp[i]中的最大值

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums.length==0){
            return 0;
        }
        //初始化
        int[] dp=new int[nums.length];
        dp[0]=1;
        int ans=1;
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            //最短子序列长度为1，方便与后续进行比较
            dp[i]=1;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                //在前面所有子序列中寻找最大的并＋1
                if (nums[i]>nums[j]){
                    dp[i]=Math.max(dp[j]+1,dp[i]);
                }
            }
            ans=Math.max(ans, dp[i]);
        }
        return ans;
    }
}